Прежде всего, обратимся к дробно-линейным функциям, на возможность использования которых в этом качестве указывала сама  Н.В.Баранова [1].

Самым простым является выбор g(x)=x–(1/x) .  Без дополнительных усилий здесь, кроме всех необходимых условий, выполнено требование нормировки: g(1)=0. А уравнение g(x)=1 приводит к уравнению золотого сечения x²–x–1=0, чем и оправдан наш выбор названия этой системы счисления.

К тому же самому выбору привела и другая наша попытка: поиск g(x) среди суперпозиций тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Требование монотонности g(x) для x>0 выделяет арктангенс и ветви тангенса. Чтобы вписаться в необходимые для g(x) условия, нужны еще и линейные замены по обеим осям. В итоге самым простым из приемлемых формульных выражений оказалось g(x)=–2ctg(2arctgx) .  Преобразование его к виду x–(1/x) – тождество из числа «подарков абитуриенту технического вуза».

Найдем базовые точки деления числовой оси для золотой системы счисления.  Как обычно, на стартовом уровне это число 0, а на первом: –1 и +1. Запись нуля – O, единиц – NO и PO. Первая цифра в записи любого числа указывает на его знак, а вторая – на знак порядка. Базовые точки второго уровня – корни золотого сечения:  (±1±Ö 5)/2  (все 4 комбинации знаков), их запись – NNO, NPO, PNO и PPO (в порядке возрастания). Базовые точки последующих уровней находятся из уравнения g(x)=b , где b – любая из базовых точек предыдущего уровня. Все эти уравнения – квадратные, что позволяет находить цифры записи числа в золотой системе счисления значительно быстрее и проще, чем в башенных [2].

Литература

1. Баранова Н.В. Итерационные системы счисления. – В сб. «6-ая Межд. конф. молодых ученых памяти С.Н.Бернштейна». СПб, 2000.

2. Федотов В.П. Башенные системы счисления. – В сб. «Информационные технологии в образовании. К 80-летию РГПУ им. Герцена». СПб, 1999.